軌道磁気モーメントの導出(量子編)

前回の記事

磁気モーメント\(\boldsymbolμ\)は

$$\boldsymbol{μ}=μ_0IS\boldsymbol{n}$$

と書けました.

ここから,角運動量ベクトルに一旦関連付けて

量子化し,軌道磁気モーメントを求める.

角運動量ベクトル

一般に質点の

運動量のモーメント

のことを角運動量という.

したがって角運動量を\(\boldsymbol{L}\),運動量を\(\boldsymbol{p}\),位置を\(\boldsymbol{r}\)とすれば

$$\boldsymbol{L}=\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{p}$$

とかける.

まぁ,復習です.

電子の角運動量ベクトル

前節で,ある質点の角運動量は

$$\boldsymbol{L}=\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{p}$$

と書けた.これを今考えている系に当てはめて

角運動量の大きさを求めてみる.

まず,原点に戻って最初に示した系の図を再掲すると

な感じでした.

順を追って行こう.

まず,電子は一定の速さ\(v\)で運動しているから

運動量の大きさ\(p\)は

$$p=m_ev$$

となる.ここで\(m_e\)は電子の質量である.

(有効質量ではないのか!と思ったあなた.その通りです.

原子核のクーロン力を電子の円運動の根拠にしている以上

必然的にこの電子は結晶格子内にあるため,

厳密にはその質量は有効質量です

今回はそこに焦点を当てたくないため

単に「質量」としました)

さらに,電子は一定の速さ\({v}\)で運動しているから,

前の記事の角速度\(ω\)で書けば

$$v=aω$$

となる.最後に,動径ベクトルと電子の速度は直交しているから

成す角\(θ\)は90度である.

以上のことから角運動量の大きさ\(L\)は

$$L=a*m_e*aω$$

$$L=m_eωa^2$$

となる.

そして,磁気モーメントは前回の記事で

$$\boldsymbol{μ}=μ_0IS\boldsymbol{n}$$

と書けた.こちらも今考えている系に当てはめてみるが

実はこれらは前の記事で一回出ている.

見てほしい.結果だけ載せると

磁気モーメントの大きさは

$$μ=\frac{μ_0eωa^2}{2}$$

となる.

さらに,分母分子に電子の質量\(m_e)\をかけると

なんと先ほど求めた角運動量ベクトルの大きさが出てきて

$$μ=\frac{μ_0e}{2m_e}L$$

とかける.

これが,古典的な磁気モーメントである.

角運動量の量子化

最後のところです.

長くなります.

角運動量は位置と運動量の外積で与えられる

というのは,もうすでに分かると思う.

そして,何の迷いもなく位置と運動量を変数として扱ってきた.

しかし,これは間違っている.

なぜなら,今までの記述は

人間が観測しうる十分にマクロな質点系

でのみ成り立つ記述だからだ.

電子,という実体があって,原子核の周りを”周回”運動しているなんてものは

誰が見たことがあるだろうか.

少なくともまだいない.

だからいくつかの仮定をして

新しく分野を作ることにした.

それが量子力学で,今回の量子化も書いている.

 

何が言いたいの?

 

$$L={\hbar}s$$

を受け入れよ民よ.\(s\)はスピン量子数です.

※2/23追記:すいません方位量子数ではなくスピン量子数でした

 

いいか,これ.

なんで成り立つのかさっぱり分からん.

Internet の海も潜ったがミジンコ一匹いやしなかった.

これは必ず,解明して記事にします.

待ってて.

軌道磁気モーメントの導出

以上から古典的な磁気モーメントは

$$μ=\frac{μ_0e}{2m_e}L$$

で,これに量子化した角運動量ベクトルLを代入すれば

$$μ=\frac{μ_0e}{2m_e}\hbar{s}$$

となり,ボーア磁子\(μ_B\)が現れ

磁気モーメント\(μ\)が方位量子数によって離散化

軌道磁気モーメントとなる.

 

 

かなり.駆け足で仕上げた.

自分自身,まだいくつか分からないところがある.

うぅむ.ほんと理論屋にはなれそうにない.

少なくとも,量子化に関しては必ず記事にします.

では.

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